Interpolación Polinómica de Lagrange

Análisis del fenómeno de Runge y comparación de parametrizaciones

Fundamentos de la Interpolación

La interpolación polinómica de Lagrange es un método para construir un polinomio que pasa exactamente por un conjunto dado de puntos. Dado un conjunto de n+1 puntos (x₀, y₀), (x₁, y₁), ..., (xₙ, yₙ), el polinomio interpolador de Lagrange se define como:

P(x) = Σ yᵢ · Lᵢ(x), donde Lᵢ(x) = Π (x - xⱼ) / (xᵢ - xⱼ) para j ≠ i

Este proyecto analiza la interpolación de la función de Runge f(x) = 1/(1 + 25x²) en el intervalo [-1, 1]. Esta función es especialmente interesante porque exhibe el fenómeno de Runge: cuando se utilizan nodos equiespaciados, el polinomio interpolador presenta oscilaciones cada vez mayores cerca de los extremos del intervalo a medida que aumenta el grado del polinomio.

Parametrizaciones Estudiadas

1. Parametrización Uniforme: Los nodos se distribuyen uniformemente en el intervalo [-1, 1]. Esta distribución, aunque intuitiva, produce el fenómeno de Runge para la función estudiada.

2. Parametrización de Chebyshev: Los nodos se colocan en las raíces de los polinomios de Chebyshev, calculados mediante la fórmula:

xᵢ = 1/2(a + b) + 1/2(b - a)cos((2i + 1)/(2n + 2)π) para i ∈ {0, ..., n}

Esta distribución concentra más puntos cerca de los extremos del intervalo, minimizando el error de interpolación y evitando las oscilaciones del fenómeno de Runge.

Configuración de la Interpolación

Entre 2 y 20 nodos
Resolución de la gráfica

Visualización

Análisis de Resultados

Configure los parámetros y genere la gráfica para ver el análisis